Как я могу добавить функцию загрузки за пределы области администрирования?

Вы не найдете много об этом ни в Кодексе, ни в сети. Медиа может показаться довольно темным искусством, но все, что вы ищете, находится в /wp-admin/includes/media.php.

Функция, которую вы ищете, это media_handle_sideload() . Вам нужно будет передать его $file_array, о котором вам придется прочитать.

По сути, вы просто убедитесь, что информация о вашем файле соответствует требованиям, передаете ее в эту функцию, и она создает что-то, что во многом похоже на обычную публикацию, и ею можно манипулировать с помощью медиа-инструментов и пользовательских запросов к публикации с post_type=attachment аргументом.